O padrasto também pode reivindicar a paternidade? 

Sim, o padrasto pode adotar o enteado se não houver a paternidade biológica registrada.  

Se existir, o padrasto poderá requerer o reconhecimento da paternidade afetiva, e o filho, então, passará a adotar o nome de ambos os pais – biológico e afetivo.